Linear Algebra - 1.4 The Matrix Equation Ax=b

용어 정리

• matrix equation (행렬 방정식)
• $ Ax = b $

Product of A and X

• x를 weights로 사용한 A의 columns의 linear combination이다.
• 즉, x는 scalar의 vector 이다.

Matrix equation 풀기

Vector equation to matrix equation - 벡터 방정식을 행렬 방정식으로 표현

• 벡터 방정식을 행렬 방정식으로 표현할 수 있다.

  

• linear combination을 matrix equation 으로 표현할 수 있다.
• 일반화 했을 경우.. $ x_1v_1 + x_2v_2 + x_3v_3 = \begin{bmatrix} v_1, v_2, v_3 \; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \; \end{bmatrix} $

System of linear equations to matrix equation - 선형 시스템을 행렬 방정식으로 표현

More efficient way to compute matrix equation

• 내적을 사용해서 계산하면 더 빠르게 풀 수 있다.

  

Theorem3. linear system 의 3가지 표현 방법
If $ A $ is a $ m \times n $, with columns $ \mathbf{a_1}, \dots, \mathbf{a_n} $, and if $ \mathbf{b} $ is in $ \mathbb{R}^{m} $, the matrix equation

\[A\mathbf{x} = \mathbf{b}\]

has the same solution set as the vector equation

\[x_1\mathbf{a_1} + x_2\mathbf{a_2} + \dots + x_n\mathbf{a_n} = \mathbf{b}\]

which, in turn, has the same solution set as the system of linear equation whose augmented matrix is

\[\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n & b \; \end{bmatrix}\]

• linear system을 3가지로 표현할 수 있으며 이 3가지는 모두 동일한 solution set을 갖는다!!

Theorem4. A의 필요충분조건 if and only if
Let $ A $ be an $ m \times n $ matrix. Then the following statements are logically equivalent.
That is, for a particular $ A $ , either they are all true statements or they are all false.

a.  For each $ \mathbf{b} $ in $ \mathbb{R}^{m} $ , the equation $ Ax = mathbf{b} $ has a solution.
b.  Each $ \mathbf{b} $ in $ \mathbb{R}^{m} $ is a linear combination of the columns of $ A $.
c.  The columns of $ A $ span $ \mathbb{R}^{m} $.
d.  $ A $ has a pivot position in every row.

• 4가지 조건 중 하나라도 True 이면 모두 True, 하나라도 False 이면 모두 False.

a.  For each $ \mathbf{b} $ in $ \mathbb{R}^{m} $ , the equation $ Ax = mathbf{b} $ has a solution.

• $ \mathbb{R}^{m} $ 공간에 있는 임의의 b에 대해서 matrix equation 인 $ Ax = b $ 는 solution 을 갖고 있다.

b.  Each $ \mathbf{b} $ in $ \mathbb{R}^{m} $ is a linear combination of the columns of $ A $.

• $ \mathbb{R}^{m} $ 공간에서 b는 A의 columns의 선형 결합이다.

c.  The columns of $ A $ span $ \mathbb{R}^{m} $.

• A의 열들은 $ \mathbb{R}^{m} $ 공간에서 span 하다 -> linear combination을 의미

d.  $ A $ has a pivot position in every row.

• A는 모든 행에 pivot position을 갖고 있다.
• A는 coefficient matrix를 의미한다. (주의, A는 augmented matrix가 아니다.)
• A의 행에 pivot position이 없다면 b가 pivot position 이 되고 이는 no solution을 의미한다.

  $ \begin{bmatrix} \; 0 & \dots & 0 & \mathbf{b} \; \end{bmatrix} $ with $ \mathbf{b} $ is nonzero 가 되면 안된다.

Identity matrix 를 곱하면?

• 위 그림에서 대각선이 모두 1이고, 나머지는 0인 행렬을 identity matrix 줄여서 $ I $ 라고 한다.
• $ Ix = x $ for every $ x $ in $ \mathbb{R}^{3} $.

Theorem5.
If $ A $ is an $ m \times n $ matrix, $ \mathbf{v} $ and $ \mathbf{v} $ are vectors in $ \mathbb{R}^{n} $, and $ c $ is a scalar, then:

a.  $ A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v}; $
b.  $ A(c\mathbf{u}) = c(A\mathbf{u}) $

• 여기서 A는 coefficient matrix 이다.
• u, v는 벡터
• c 는 스칼라