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용어 정리

  • linear equation (선형 방정식)
  • system of linear equation (선형 방정식 계)
  • solution set (해의 집합)
  • consistent - exactly one solution, infinitely many solutions
  • inconsistent - no solution
  • matrix notation (행령 표기법)
  • elimination (소거법)
  • row operation (행 연산) - replacement, interchange, scaling
  • equivalent (상등)
  • row equivalent (행 상등)


선형대수 (Linear Algebra) 는 선형 방정식(Linear Equation)을 풀기 위한 방법론이다.

  • 다음과 같은 lineqr equation 이 있다고 하자, $2x + 3y = 0$
  • 여기서 우측의 해 $0$ 을 만족시키는 $x$ 와 $y$ 를 찾아내는 것이다.
  • 방정식과 미지수가 하나씩 있으면 solution 을 구하는게 매우 쉽지만
  • 방정식 1개에 미지수2개 의 경우 해를 만족시키는 x와 y를 방정식 1개로 찾기는 어렵다.
  • 여기서 같은 차원의 방정식이 여러개 있다면? 우리는 두 방정식의 관계를 이용해 해를 찾아낼 수 있다. 이것이 선형대수를 공부하는 목적이다.

선형 방정식 - linear equation

$ x_1,…,x_n$ 변수로 이루어진 선형 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

A linear equations in the variables $ x_1, x_2, \dots, x_n $


\[a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b\]


  • 우리는 위와 같은 식을 선형 방정식이라고 부른다.
  • 변수 앞에 붙은 $ a_1, a_2, \dots, a_n $ 을 우리는 Coefficients 라고 부른다.
  • 여기서 $ b $ 와 $ a_1, \dots, a_n $ 은 실수(real number) 혹은 허수(complex numbers)인 상수(coefficient)이다.


  • 문제. 그렇다면 다음 두 식은 Linear Equation 인가?
    \(4x_1 - 5x_2 = x_1x_2\)
    \(x_2 = \sqrt x_1 - 6\)
    정답 : 아니다.



선형 방정식 계 - A system of linear equations (줄여서 linear system)

  • a collection of one or more linear equations (같은 변수들을 포함한 선형 방정식이 1개 또는 그 이상의 집합을 의미)
  • 선형 방정식이 한 개여도 상관없음
  • 선형 방정식의 예시

  • 아래 두 개의 선형 방정식은 선형 방정식 계라고 할 수 있다.

    $ x_1 - 2x_2 = -1 $
    $ -x_1 + 3x_2 = 3 $

    Desktop View

  • 위 두 개의 식을 행렬로 표시하면 다음과 같다.

$ \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} $

$ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $

  • 왼쪽부터 순서대로, Coefficient Matrix - 계수행렬(A), unknown vector - 미지수 벡터(x), 우변 벡터(b) 이다.


  • Row Picture
  • Row picture 란 Row 방향의 방정식을 하나씩 보는 것이다. 예를 들어, 위 식에서 $ x_1 - 2x_2 = -1 $ 의 하나의 방정식을 놓고 봤을 때, 이 방정식이 공간상에서 어떻게 표현되는지, 무엇을 의미하는지를 아는 것이다.
  • 선형대수에서 이러한 row 방향의 하나의 방정식은 좌표 공간상에서 직선으로 표현된다. 위 방정식들을 $y=x$ 꼴로 정리해서 풀어보면

$ x_2 = {1 \over 2}x_1 + {1 \over 2} $
$ x_2 = {1 \over 3}x_1 + 1 $

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matplotlib 로 작성했다.

  • 해당 그래프를 보면 (3,2)에서 교점이 존재하는데, 이것이 linear system 의 해이다.
matplotlib로 작성한 코드
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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x1 = np.array(range(1, 6)) # system value 의 범위를 의미
x2 = np.array(range(1, 6))
x3 = np.array(range(1, 6))

plt.plot(x1, 1/2 * x1 + 1/2, color='tomato', label="$x_1 - 2x_2 = -1$") # y = x 꼴로 간단히 표현가능
plt.plot(x2, x2 ** 2, color='royalblue', label="$-x_1 + 3x_2 = 3$")
plt.xlabel("X-Axis")
plt.ylabel("Y-Axis")
plt.legend()
plt.title('Line Plot')
plt.grid(True)

plt.text(3, 2, "      Intersection")

plt.show()


  • Column Picture

$ \mathbf{x_1} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + \mathbf{x_2} \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} $ - 위 방정식을 column 식으로 표현

$ a_1\mathbf{x_1} + a_2\mathbf{x_2} = b $ - 일반화 한 것


\[a_1\mathbf{x_1} + a_2\mathbf{x_2} + \dots + a_n\mathbf{x_n} = b\]
  • 우리는 위와 같은 형태를 linear combination (선형 결합)이라고 부르며, 이러한 형태의 연산은 선형대수에서 가장 근본적이며 핵심적인 연산이다.

  • 여기서는 column 의 선형 결합이라 할 수 있음.

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matplotlib로 작성한 코드
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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([1, -1]) # 벡터로도 array 표현이 가능
y = np.array([-2, 3])
lc = 3*x + 2*y # 선형 결합

plt.clf()

plt.arrow(0, 0, x[0], x[1], head_width=0.1, head_length=0.2, color="red", label="$x_1 = [1, -1]$") # 벡터는 arrow 로 표현
plt.arrow(0, 0, y[0], y[1], head_width=0.1, head_length=0.2, color="blue", label="$x_2 = [-2, 3]$")
plt.arrow(0, 0, lc[0], lc[1], head_width=0.1, head_length=0.2, color="green", label="$b = [-1,3]$")

plt.xlabel("$x_1$-axis")
plt.ylabel("$x_2$-axis")

plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title('Line Plot')
plt.show()
  • 결국 Row Picture 든 Column Picture 든 똑같은 시스템 A를 보는 것이므로 해는 같다.
  • 문제를 직선이나 평면 방정식으로 볼것인지, 벡터들의 선형결합으로 볼것인지의 차이일 뿐이다.



해의 집합 - Solution Set

  • The set of all possible solutions of the linear system.
  • 선형 시스템에서 모든 가능한 해의 집합을 의미한다.



상등 - equivalent

  • Two linear systems are called equivalent if they have the same solution set.
  • 두 선형 방정식이 상등(equivalent) 하다라는 뜻은 같은 solution set 을 지녔다는 것을 의미한다.



해가 있다 (consistent), 해가 없다(inconsistent)

해가 없다 - inconsistent

  • no solution 해가 없는 상태 -> inconsistent
    $ x_1 - 2x_2 = -1 $
    $ -x_1 + 2x_2 = 3 $

    Desktop View

    • 이 처럼 두 직선이 평행하게 되면 교차점이 없다. 이 경우에 no solution 이며, 두 방정식은 inconsistent 하다.


해가 있다 - consistent

  • (i)exactly one solution or (ii)infinitely many solutions 해가 하나이거나 무한히 많을 때 -> consistent

    #1. 해가 하나인 경우

    $ x_1 - 2x_2 = -1 $
    $ -x_1 + 2x_2 = 3 $

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    #2. 해가 무수히 많은 경우

    $ x_1 - 2x_2 = -1 $
    $ -x_1 + 2x_2 = 1 $

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  • 정리하자면 선형 방정식 계는 1. no solution, 2. exactly one solution, 3. infinitely many solution 세 가지 경우를 가지고 있다.
  • inconsistent 는 no solution, consistent 는 exactly one solution or infinitely many solution을 의미한다.


행렬 표기법 - Matrix notation

  • 행렬 표기법은 선형 시스템을 행렬로 표현한 것이다.

$ x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 $
$ 2x_2 - 8x_3 = 8 $
$ -4x_1 + 5x_2 + 9x_3 = -9 $

  • 이 3개의 방정식을 행렬로 표기하면 다음과 같다.


(1) 계수 행렬 - coefficient matrix (3x3)

  • coefficient matrix 는 b를 제외하고 a만을 행렬로 나타낸 것이다.

$ \begin{bmatrix} \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -8 \\ -4 & \phantom{-}5 & \phantom{-}9 \end{bmatrix} $


(2) 첨가 행렬 - augmented matrix (3x4)

  • augmented matrix는 b까지 포함한 행렬이다.

$ \begin{bmatrix} \phantom{-}1 & -2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -8 & \phantom{-}8 \\ -4 & \phantom{-}5 & \phantom{-}9 & -9 \end{bmatrix} $


소거법 - elimination

  • row operation을 통해 elimination을 진행하고 linear equation의 solution을 구할 수 있다.

  • 예제 1. Solve the following system of linear equations
    Desktop View
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    Desktop View

    • 우리는 augmented matrix 만을 가지고도 solution을 구할 수 있다. Desktop View
  • $ x_1 = 1, x_2 = 0, x_3 = -1 $ 으로 one solution을 갖고 있으므로 세 방정식은 consistent 하다.
  • 또한 같은 solution set을 갖고 있으므로 row equivalent 하다.


  • 예제 2. Solve the following system of linear equations
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    • 행렬에서 좌측 상단을 pivot position 이라고 하는데, 이 pivot position 이 0이 되면 안되므로 interchange 를 실시해야한다.
    • column 들 끼리는 자유롭게 interchange 할 수 있다.
    • 이 문제는 $ 0 = 5 / 2 $ 이기 때문에 incosistent 하므로 해가 없다.


행 연산 - Elementary row operations

  1. replacement
  2. interchange
  3. scaling

  • 위 3가지 row operation 을 통해 최종 계산한 결과 값이랑 최초의 행렬이랑 같다. -> row equivalent 하다.

  • We say two matrices are row equivalent if there is a sequence of elementary row operations that transforms one matrix into the other.
  • If the augmented matrices of two linear systems are row equivalent, then the tow systems have the same solution set. (두 augmented matrices 가 row equivalent 하다라는 말은 같은 solution set을 가지고 있다라는 뜻.)


행 상등 - row equivalent

  • row operation을 통해 하나의 matrix 를 다른 matrix로 변환된다면 두 matrix 는 row quivalent 하다고 할 수있다.
  • 두 linear system 이 row equivalent 하다면 두 linear system은 have same solution set.