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용어 정리

• conjugate - 짝으로 결합한 , 켤례
• conjugate complex numbers - 켤례복소수

Matrix Eigenvalue-Eigenvector Theory for ${\mathbb{C}}^n$ - 복소수 공간에서 행렬의 고유치-고유벡터 이론

• 우린 여태껏 ${\mathbb{R}}^n$ 공간, 즉 실수 공간에서의 고유값-고유벡터를 살펴보았다. 그렇다면 복소수 공간인 ${\mathbb{C}}^n$ 에서는 어떨까?
• 사실 실수 공간에 있는 이론이 그대로 다 적용이 된다. 단지 eigenvalue 가 complex value 를 갖게 될 뿐이다.

A complex scalar $\lambda$ satisfies $\text{det}(A-\lambda I)=0$
if and only if there is a nonzero vector $\mathbf{x}$ in ${\mathbb{C}}^n$ such that $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$

복소수 scalar $\lambda$ 가 $\text{det}(A-\lambda I)=0$ 을 만족하면 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 에서 ${\mathbb{C}}^n$ space 에 존재하는 nonzero vector $\mathbf{x}$ 가 존재한다.

• 예시 문제1
• $A$ 가 다음과 같이 주어졌을 때, $A$ 의 eigenvalue 는 다음과 같다.

$$A=\left[\begin{array}{cc}\phantom{-}0& -1\\ \phantom{-}1& \phantom{-}0\end{array}\right]$$

• characteristic equation 으로 $\lambda$ 를 구할 수 있다.

$${\lambda }^2+1=0$$

• 여기서 $\lambda =i,-i$ 가 되고 이는 conjugate(켤례 복소수) 관계에 있게된다.
• eigenvalue 에 해당되는 eigenvector 를 구하면 다음과 같다.

$$\left[\begin{array}{c}\phantom{-}1\\ -i\end{array}\right]\text{and}\left[\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right]$$

• 여기서 eigenvector 도 conjugate 관계에 있다.

• 이처럼 eigenvalue 와 eigenvector 에서 complex 부분이 conjugate 관계에 있다는 특징을 확인할 수 있다.

• 예시 문제2
• complex eigenvalue 가 존재하는 행렬 $A$ 로 linear transformation 을 했을 때, 기하학적으로 어떻게 변하는지 파악해보자.

$$A=\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.6\\ 0.75& 1.1\end{array}\right]$$

• $A$ 가 위와 같이 주어졌을 때 eigenvalue 를 찾고 eigenspace 에서의 basis를 찾아보자. 우선, $A$ 의 characteristic equation 으로 eigenvalue 를 찾는다.

$$0=\text{det}\left[\begin{array}{cc}0.5-\lambda & -0.6\\ 0.75& 1.1-\lambda \end{array}\right]=(0.5-\lambda )(1.1-\lambda )-(-0.6)(0.75)={\lambda }^2-1.6\lambda +1$$ $$\lambda =\frac{1}{2}[1.6\pm \sqrt{(-1.6{)}^2-4}]=0.8\pm 0.6i$$

• $A-\lambda I$ 로 eigenvalue 에 해당하는 eigenvector 를 찾을 수 있다.

$$A-(0.8-0.6i)I=\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.6\\ 0.75& 1.1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0.8-0.6i& 0\\ 0& 0.8-0.6i\end{array}\right]$$ $$=\left[\begin{array}{cc}-0.3+0.6i& -0.6\\ 0.75& 0.3+0.6i\end{array}\right]$$

• row reduction 을 통해 general solution 을 구하자.
• 여기서 두 가지 방법이 존재하는데, 첫번째는 정직하게 row reduction 을 푸는 행위인데, 여기서는 분수와 복소수가 존재하기 때문에 계산실수가 발생할 수도 있으니 다음과 같은 방법을 싸보자.
• 결과로 나온 행렬을 선형방정식으로 풀어서 표현하면 다음과 같다.

$$(-0.3+0.6i)x_1-0.6x_2=0$$ $$0.75x_1+(0.3+0.6i)x_2=0$$

• 여기서 x_1 의 coefficient 로 복소수가 없는 두 번째 식을 $x_1$ 을 기준으로 general solution 을 표현하면 다음과 같다.

$$0.75x_1=(-0.3-0.6i)x_2$$ $$x_1=(-0.4-0.8i)x_2$$

• $x_2=5$ 일 때 $x_1=-2-4i$ 가 된다.
• 이것이 $\lambda =0.8-0.6i$ 일 때의 eigenvector 이다.

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-2-4i\\ 5\end{array}\right]$$

• 또한 $\lambda =0.8-0.6i$ 일 때의 eigenvector 는 conjugate 관계에 있으므로 다음과 같다.

$${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-2+4i\\ 5\end{array}\right]$$

• $x=(2,0)$ 일 때 $A\mathbf{x}$ 를 반복수행하면 다음과 같다.

$${\mathbf{x}}_1=A{\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.6\\ 0.75& 1.1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1.0\\ 1.5\end{array}\right]$$ $${\mathbf{x}}_2=A{\mathbf{x}}_1=\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.6\\ 0.75& 1.1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1.0\\ 1.5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.4\\ 2.4\end{array}\right]$$ $${\mathbf{x}}_3=A{\mathbf{x}}_2=\dots$$

• 이것을 기하학적으로 표현하면 다음과 같다.
• 타원 형태가 나타난다. 이것이 complex eigenvalue 의 특성이다.

Eigenvalue and Eigenvectors of Real Matrix That Acts on ${\mathbb{C}}^n$ - 복소수 공간에서 작동하는 실수 행렬의 고유치와 고유벡터

• entires 가 real 인 $n\times n$ 행렬 $A$ 가 있을 때, $\lambda$ 가 complex space 에 존재하면 다음 식이 성립한다.

$$A\bar{\mathbf{x}}=\overline{A\mathbf{x}}=\overline{\lambda \mathbf{x}}=\bar{\lambda }\bar{\mathbf{x}}$$

• 여기서 $\bar{A},\bar{\mathbf{x}},\bar{\lambda }$ 는 conjugate 를 의미한다.

• 행렬 $A$ 에 complex eigenvalue 가 주어지면 complex 의 conjugate 도 eigenvalue 가 되고 그에 해당하는 conjugate vector 도 eigenvector 가 된다.

When $A$ is real, its complex eigenvalues occur in conjugate pairs.
$A$ 가 real 일 때, $A$ 의 complex eigenvalues 는 conjugate pair 이다.

• 예시 문제 1
• $C$ 가 다음과 같이 주어졌을 때, 이것의 eigenvalue 와 $C$ 로 인한 transformation 이 어떻게 작동되는지 확인해보자.

$$C=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$$

• $C$ 의 eigenvalues 는 다음과 같다.

$$\lambda =\bar{a}\pm bi$$

• $C$ 를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$C=r\left[\begin{array}{cc}a/r& -b/r\\ b/r& a/r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right]$$

• $r=\sqrt{a^2+b^2}$ 이며, 이는 transformation 을 했을 때 scaling 한 값이 된다.
• 이제 complex eigenvalue 를 갖는 행렬 $C$ 로 $x$ 를 transformation 하면 다음과 같다.

• rotation 과 scaling 이 된것을 확인할 수 있다. a 와 b 에 따라서 scaling 크기가 다르다.

• 예시 문제 2

• complex eigenvalue 를 갖고 있는 행렬 $A$ 는 eigenvalue 의 real part 와 imaginary part 로 구성된 행렬 $C$ 와 similar 관계에 있다.

• 행렬 $A$ 가 다음과 같이 주어졌을 때, eigenvalue 와 eigenvector 를 구해보자.

$$A=\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.6\\ 0.75& 1.1\end{array}\right]$$ $$\lambda =0.8-0.6i$$ $${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-2-4i\\ 5\end{array}\right]$$

• $A$ 와 similar 관계에 있는 matrix 를 찾기 위해 $P$ 를 다음과 같이 구할 수 있다.

$$P=[\text{Re}{\mathbf{v}}_1\text{Im}{\mathbf{v}}_1]=\left[\begin{array}{cc}-2& -4\\ \phantom{-}5& \phantom{-}0\end{array}\right]$$

• 이제 $C=P^{-1}AP$ 를 해보면 $A$ 와 similar 관계에 있는 행렬 $C$ 를 구할 수 있다.

$$C=P^{-1}AP=\frac{1}{20}\left[\begin{array}{cc}\phantom{-}0& \phantom{-}4\\ -5& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.6\\ 0.75& 1.1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2& -4\\ \phantom{-}0& \phantom{-}4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.8& -0.6\\ 0.6& 0.8\end{array}\right]$$

• $C$ 의 entries 는 eigenvalue 의 real part 와 imaginary part 가 된다. 또한 $C$ 행렬으로 transformation 을 적용하면 $r=1$ 이므로 순수한 회전 동작만 작동한다.

Theorem8.

Let $A$ be a real $2\times 2$ matrix with a complex eigenvalue $\lambda =a-bi(b\ne 0)$ and an associated eigenvector $\mathbf{v}$ in ${\mathbb{C}}^2$ . Then

$A=PC{P}^{-1},\text{where}P=[\text{Re}\mathbf{v}\text{Im}\mathbf{v}]\text{and}C=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$

• $P$ 는 eigenvector 의 real part, imaginary part 가 되고 $C$ 는 eigenvalue 의 real part, imaginary part 가 된다.

• 증명
• 우선 $\text{Re}\mathbf{v}$ 와 $\text{Im}\mathbf{v}$ 가 linearly dependent 라고 가정하고 임의의 벡터 $\mathbf{u}$ 가 존재한다고 하면

$$\text{Im}\mathbf{v}=\mathbf{u}\text{Re}\mathbf{v}=c\mathbf{u}$$

• $\mathbf{v}$ 벡터를 conjugate pair 로 나타내면

$$\mathbf{v}=c\mathbf{u}+i\mathbf{u}\bar{\mathbf{v}}=c\mathbf{u}-i\mathbf{u}$$

• 여기에 각각 해당되는 eigenvalue 는 다음과 같다.

$$\lambda =a+bi\bar{\lambda }=a-bi$$

• $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$ 성질을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}A\bar{\mathbf{v}}=\bar{\lambda }\bar{\mathbf{v}}$$

• 여기서 위의 두개의 conjugate pair 를 더해보면

$$Ac\mathbf{u}=(a+bi)(c\mathbf{u}+i\mathbf{u})+(a-bi)(c\mathbf{u}-i\mathbf{u})=(ac-b)\mathbf{u}$$

• (i) $c=0$ 인 경우
• $c$ 가 0이면 $0=-b\mathbf{u}$ 가 되고 여기서 $\mathbf{u}$ 는 nonzero vector 이기 때문에 $b=0$ 이 되어야한다.
• 하지만, $b=0$ 이면 eigenvalue $\lambda =a+0i=a$ 가 되어버리고 이는 eigenvalue 가 real value 실수라는 의미이다.
• complex space 에서 eigenvalue 가 real value 인것은 매우 모순적이므로, $c$ 가 0이 되어서는 안된다.

• (ii) $c\ne 0$ 인 경우 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$A\mathbf{u}=\frac{(ac-b)}{c}\mathbf{u}$$

• 여기서 $\mathbf{u}$ 는 real vector 이고, $\frac{(ac-b)}{c}$ 는 scalar 값이다.
• 이말인즉슨, $A$ 의 eigenvalue 는 $\frac{(ac-b)}{c}$ 이고, eigenvector 는 $\mathbf{u}$ 라는 의미인데,

• 위에서 eigenvalue 는 $\lambda =a+bi\bar{\lambda }=a-bi$ 이렇게 두 가지 밖에 없어야 하는데, 위에서 새롭게 구한 eigenvalue 까지 합치면 세 개이므로 모순이 된다.

• 따라서, $\text{Re}\mathbf{v}$ 와 $\text{Im}\mathbf{v}$ 는 반드시 linearly independent 하다.
• 따라서, $C$ 행렬은 회전을 시킨다고 해석을 할 수 있다.

회전한다는 것을 보이는 기하학적 예시

• 예제 1

$$\left|\lambda \right|\approx 1.023>1C=\left[\begin{array}{cc}1.01& -0.05\\ 0.05& 1.01\end{array}\right]$$

• 여기서 eigenvalue 는 1보다 크다고 하면

• 예제 2

$$\left|\lambda \right|\approx 0.983<1C=\left[\begin{array}{cc}0.99& -0.05\\ 0.05& 0.99\end{array}\right]$$

• 여기서 eigenvalue 는 1보다 작다고 하면