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The matrix of Linear Transformation - 선형 변환의 행렬

• $V$ 가 n-dimensional vector space 이고 $W$ 는 m-dimensional vector space 로 주어졌을 때, $V$ 에서 $W$ 로 linear transformation 을 $T$ 로 가정하자.

• 그러면 $\beta$ basis 로 표현되는 $\mathbf{x}$ 의 coordinate vector ${\left[\mathbf{x}\right]}_{\beta }$ 와 $\mathcal{C}$ basis 로 표현되는 $T(\mathbf{x})$ 의 coordinate vector $[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}$ 를 연결시키는 행렬이 있을까?

• ${\left[\mathbf{x}\right]}_{\beta }$ 와 $[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}$ 사이의 연결은 쉽게 찾을 수 있다.
• $V$ 에 대한 basis $\beta$ 가 ${\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n$ 으로 구성되어 있다면
• $\mathbf{x}$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$\mathbf{x}=r_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +r_n{\mathbf{b}}_n$$

• 따라서 basis $\beta$ 에 대한 coordinate vector ${\left[\mathbf{x}\right]}_{\beta }$ 는 다음과 같다.

$${\left[\mathbf{x}\right]}_{\beta }=\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ ⋮\\ r_n\end{array}\right]$$

• 그리고 $T(\mathbf{x})$ 는 다음과 같이 정의된다.

$$T(\mathbf{x})=T(r_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +r_n{\mathbf{b}}_n)=r_{1}T({\mathbf{b}}_1)+\cdots +r_{n}T({\mathbf{b}}_n)$$

• basis $\mathcal{C}$ 에 대한 $T(x)$ 의 coordinate vector 는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}=r_1[T({\mathbf{b}}_1){]}_{\mathcal{C}}+\cdots +r_n[T({\mathbf{b}}_n){]}_{\mathcal{C}}$$

• 이를 행렬 $M$ 을 이용해 간단히 표현하면 다음과 같다.

$$[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}=M{\left[\mathbf{x}\right]}_{\beta }$$

• 여기서 $M$ 은 다음과 같다.

$$M=[[T({\mathbf{b}}_1){]}_{\mathcal{C}}\dots [T({\mathbf{b}}_n){]}_{\mathcal{C}}]$$

이 행렬 $M$ 을 bases 인 $\beta$ 와 $\mathcal{C}$ 에 상대적인 $T$ 에 대한 행렬 이라고 부른다.
The matrix $M$ is a matrix representation of $T$, called the matrix for $T$ relative to the bases $\beta$ and $\mathcal{C}$ .

• 예시 문제
• vector space $V,W$ 에 대한 basis $\beta ,\mathcal{C}$ 와 $T(b)$ 주어졌을 때, basis $\beta$ 와 $\mathcal{C}$ 에 상대적인 $T$ 에 대한 행렬 $M$ 을 찾는 문제이다.

$$\beta ={\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2$$ $$\mathcal{C}={\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2,{\mathbf{c}}_3$$ $$T({\mathbf{b}}_1)=3{\mathbf{c}}_1-2{\mathbf{c}}_2+5{\mathbf{c}}_3\text{and}T({\mathbf{b}}_2)=4{\mathbf{c}}_1+7{\mathbf{c}}_2-{\mathbf{c}}_3$$

• $M=[T(\mathbf{b}){]}_{\mathcal{C}}$ 이므로 다음과 같이 구할 수 있다.

$$[T({\mathbf{b}}_1){]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{c}\phantom{-}3\\ -2\\ \phantom{-}5\end{array}\right]\text{and}[T({\mathbf{b}}_2){]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{c}\phantom{-}4\\ \phantom{-}7\\ -1\end{array}\right]$$

• 두 벡터의 column 으로 구성된 행렬 $M$ 을 구할 수 있다.

$$M=\left[\begin{array}{cc}\phantom{-}3& \phantom{-}4\\ -2& \phantom{-}7\\ \phantom{-}5& -1\end{array}\right]$$

Linear Transformations from V into V - 동일한 벡터 공간에서의 선형 변환

• 동일한 벡터 공간에서 선형 변환은 다음과 같이 정의된다.

$$[T(\mathbf{x}){]}_{\beta }=[T{]}_{\beta }[\mathbf{x}{]}_{\beta }$$

• 이를 $\beta$ - matrix for $T$ 라고 간단히 표현한다.

• 예시 문제
• $T$ 가 $P_2\to P_2$ 로 mapping 한다고 정의되고 $T(\mathbf{x})$ 는 다음과 같다. (여기서 $P$ 는 polynomial space 를 의미한다.)

$$T(a_0+a_{1}t+a_2{t}^2)=a_1+2a_{2}t$$

• (1) $\beta$ basis 가 $1,t,t^2$ 일 때, B-matrix for $T$ 를 찾고 (2) $[T(\mathbf{p}){]}_{\beta }=[T{]}_{\beta }[\mathbf{p}{]}_{\beta }$ 를 증명하는 문제이다.

(1)

• basis vector 를 구하면 다음과 같다.

$T(1)=0$ The zero polynomial

$T(t)=1$ The polynomial whose value is always 1.

$T(t^2)=2t$

• $R^3$ space 의 basis 인 $1,t,t^2$ 에 대한 coordinate vector 는 다음과 같다.

$$[T(\mathbf{1}){]}_{\beta }=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right],[T(\mathbf{t}){]}_{\beta }=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],[T({\mathbf{t}}^{\mathbf{2}}){]}_{\beta }=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right]$$ $$[T{]}_{\beta }=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

(2)

• $[T(\mathbf{p}){]}_{\beta }$ 는 다음과 같다.

$$[T(\mathbf{p}){]}_{\beta }=[a_1+2a_{2}t{]}_{\beta }=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ 2a_2\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\end{array}\right]=[T{]}_{\beta }[\mathbf{p}{]}_{\beta }$$

• 결과적으로 우리가 $T$ 를 알고 $[T{]}_{\beta }$ ($T$ 에 대한 $\beta$ 행렬) 을 알면 coordinate vector 를 알 수 있고 따라서 해당 Transformation 에 대응되는 polynomial 을 찾을 수 있다.

Theorem7. Diagonal Matrix Representation

Suppose $A=PD{P}^{-1}$ , where $D$ is a diagonal $n\times n$ matrix. If $\beta$ is the basis for ${\mathbb{R}}^n$ formed from the columns of $P$ , then $D$ is the $\beta$ - matrix for the transformation $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ .

• $D$ 는 diagonal matrix 이고, $A$ 는 diagonalizable 로 가정할 때 basis $\beta$ 는 $P$ 의 column 으로 구성된다. 그리고 $D$ 는 $\beta$ - matrix for $T$ 가 된다.

• 증명
• $P$ 의 column 은 ${\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n$ 이므로 $\beta ={\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n$ 이다.
• 따라서 $P$ 는 change-of-coordinates matrix $P_{\beta }$ 이다. 그러모르 다음과 같은 성질을 만족한다.

$$P[\mathbf{x}{]}_{\beta }=\mathbf{x}\text{and}[\mathbf{x}{]}_{\beta }=P^{-1}\mathbf{x}$$

• 만약, $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ 이면 다음과 같다.

$[T{]}_{\beta }=[[T({\mathbf{b}}_1){]}_{\beta }\dots [T({\mathbf{b}}_n){]}_{\beta }]$ Definition of $[T{]}_{\beta }$

$=[[A{\mathbf{b}}_1{]}_{\beta }\dots [A{\mathbf{b}}_n{]}_{\beta }]$ Since $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$

$=[P^{-1}A{\mathbf{b}}_1\dots P^{-1}A{\mathbf{b}}_n]$ Change of coordinates

$=P^{-1}A[{\mathbf{b}}_1\dots {\mathbf{b}}_n]$ Matrix multiplication

$=P^{-1}AP$

• $A=PD{P}^{-1}$ 이므로 $[T{]}_{\beta }$ 는 다음과 같다.

$$[T{]}_{\beta }=P^{-1}AP=D$$

Similarity of Matrix Representations - 행렬의 유사도 표현

• $A$ 와 $C$ 가 similar 하면, $\beta$ - matrix 는 $C$ 이다.
• $C$ 가 꼭 diagonal matrix 가 아니어도 성립한다..

$$A=PC{P}^{-1}$$

• 예시 문제

$$A=\left[\begin{array}{cc}\phantom{-}4& -9\\ \phantom{-}4& -8\end{array}\right],{\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$$

• $A$ 와 basis 가 주어지고 $\beta$ - matrix 를 찾는 문제이다.

• 여기서 $A$ 의 eigenvalue 는 -2 (multiplicity = 2) 이고 eigenspace dimension 은 1이다. 따라서, not diagonalizable 이다.

• ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2$ 는 서로 곱의 관계가 아니므로 linearly independent 함을 알 수 있다.
• 따라서 $P$ 를 구할 수 있다.

$$AP=\left[\begin{array}{cc}\phantom{-}4& -9\\ \phantom{-}4& -8\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-6& -1\\ -4& \phantom{-}0\end{array}\right]$$

• $A=PC{P}^{-1}$ 이므로 $C$ 는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cc}-1& \phantom{-}2\\ \phantom{-}2& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-6& -1\\ -4& \phantom{-}0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& \phantom{-}1\\ \phantom{-}0& -2\end{array}\right]$$

• $C$ 의 diagonal entries 가 $A$ 의 eigenvalue 가 되고 $\beta$ - matrix 이다.
• $A$ 가 diagonalizable 이 아니더라도 어떤 independent basis 만 선택한다면 $\beta$ - matrix 를 찾을 수 있다. 이때 basis 는 independent set 이어야 한다.