Theorem3. Row Operations
Let $A$ be a square matrix.
a. If a multiple of one row of $A$ is added to another row to produce a matrix $B$ , then $\mbox{det} B = \mbox{det} A$ .
b. If two rows of $A$ are interchanged to produce $B$ , then $\mbox{det} B = -\mbox{det} A$ .
c. If one row of $A$ is multiplied by $k$ to produce $B$ , then $\mbox{det} B = k \cdot \mbox{det} A$ .
- a. 는 row replacement, b. 는 interchange, c. 는 scailing 을 의미한다.
- 이 세 가지 성질을 이용해서 row reduction 을 통해 echelon form 을 만든 후 cofactor expansion 을 이용하면 determinant 를 쉽게 구할 수 있다.
$ \mbox{det} EA = (\mbox{det} E)(\mbox{det} A) $ 동일하다.
- $E$ 는 elementary matrix (기본 행렬) 을 의미한다.
- $E_1$ 은 interchange, $E_2$ 는 second row $k$ scailing,
- $E_3$ 는 second row 에 $k$ scailing 한 것을 first row 에 더한 replacement
$E_4$ 는 first row 에 $k$ scailing 한 것을 second row 에 더한 replacement를 의미한다.
- 각각의 det 는 다음과 같다.
- $ \mbox{det} EA = (\mbox{det} E)(\mbox{det} A) $ 의 증명
$ \begin{vmatrix} E_1A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c & d \\ a & b \end{vmatrix} = -(ad - bc) = - \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} E_1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$
$ \begin{vmatrix} E_2A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ kc & kd \end{vmatrix} = -(kad - kbc) = k \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} E_2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$
$ \begin{vmatrix} E_3A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a + kc & b + kd \\ c & d \end{vmatrix} = (ad + kcd - bc - kcd) = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} E_3 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$
$ \begin{vmatrix} E_4A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c + ka & d + kb \end{vmatrix} = (ad + kab - bc - kab) = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} E_4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$
- 위 내용을 정리하자면, $ \mbox{det} EA = (\mbox{det} E)(\mbox{det} A) $ 와 $\mbox{det} E = 1, -1, r$ 이라는 것을 알 수 있다.
- 따라서 각각의 row operation 은 두 개의 row 에 영향을 끼치므로 영향을 받지 않은 row 를 기준으로 cofactor expansion 을 사용하면 $\mbox{det} A$ 를 쉽게 구할 수 있다.
$ \mbox{det} EA = a_{i1} \, (-1)^{i + 1} \, \mbox{det} B_{i1} + \dots + a_{in} \, (-1)^{i + n} \, \mbox{det} B_{in} $
$ = \alpha a_{i1} \, (-1)^{i + 1} \, \mbox{det} A_{i1} + \dots + \alpha a_{in} \, (-1)^{i + n} \, \mbox{det} A_{in} $
$ = \alpha \cdot \mbox{det} A $
- 예시 문제
- row reduction 을 사용하여 echelon form 으로 변환하면 det A 를 쉽게 구할 수 있다.
- 여기서 row operation 을 통해 echelon form 을 만들면 triangular matrix 형태이고 각각의 diaogonal term 들을 곱하면 determinant 를 구할 수 있다.
- 따라서, det 는 echelon form 에서 각각의 pivot 들의 곱을 의미한다.
- 또한 row operation 성질을 이용해서 elementary matrix 의 det를 곱하면 det A 가 나오게 된다.
- 이를 다음과 같이 정의할 수 있다.
$ \mbox{det} A = \begin{cases}(-1)^r \cdot \begin{pmatrix} \mbox{product of} \\ \mbox{pivots in} \, U \end{pmatrix} & \mbox{when } A \mbox{ is invertible} \\ 0 & \mbox{when } A \mbox{ is not invertible} \end{cases} $
- $A$ 가 not invertible 이면 pivot 이 0인 row 가 존재하게 되어 pivot 들의 곱이 0이 된다.
- cofactor expansion 을 사용해서 determinant 를 구하려면 $n!$ 의 연산이 필요했었다.
- 하지만, row operation 을 이용하게 되면 $2n^3 / 3$ 의 연산이 필요하므로 $25 \times 25$ 이상의 행렬도 빠르게 계산이 가능하다.
Theorem4.
A square matrix $A$ is invertible if and only if $ \mbox{det} A \ne 0$ .
- $ \mbox{det} A \ne 0$ 이면 $A$ 는 invertible 이다.
- $A$ 가 not invertible 이면 $\mbox{det} A = 0$ 이다.
Theorem5.
If $A$ is an $n \times n$ matrix, then $\mbox{det} A^T = \mbox{det} A$ .
- $A^T$ 의 det 와 det $A$ 는 동일하다.
Theorem6. Multiplicative Property
If $A$ and $B$ are $n \times n$ matrices, then $\mbox{det} AB = (\mbox{det}A)(\mbox{det}B)$ .
- $\mbox{det} AB = (\mbox{det}A)(\mbox{det}B) $ 이 만족하는지를 다음과 같이 간단한 행렬을 계산해서 알아보자.
$ A = \begin{bmatrix} 6 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \quad \mbox{and} \quad B = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $
$ AB = \begin{bmatrix} 6 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & 20 \\ 14 & 13 \end{bmatrix} $
$ \mbox{det} AB = 25 \cdot 13 - 20 \cdot 14 = 325 - 280 = 45 $
$ (\mbox{det} A)(\mbox{det} B) = 9 \cdot 5 = 45 = \mbox{det} AB $
- 이를 통해 $\mbox{det} AB = (\mbox{det} A)(\mbox{det} B) $ 가 성립함을 알 수 있다.
- 여기서 주의할점은 $\mbox{det} (A + B) $ is not equal to $ \mbox{det} A + \mbox{det} B $ , in general.
- $\mbox{det} (A + B) $ 는 $ \mbox{det} A + \mbox{det} B $ 와 동일하지 않다!
Determinant Properties Table
- 위 에서 살펴본 Properties 이외에도 추가적인 Determinant 의 Properties 들을 알아보자.
| 특성 | 수식 | 설명 |
|---|---|---|
| prop. 1 | $ \mbox{det} \, I = 1 $ | - identity matrix 의 determinant 는 1 이다. |
| prop. 2 | $ \mbox{Exchange rows} $ $ \rightarrow \mbox{reverse sign of determinant} $ | - 행을 바꾸면 determinant 의 부호가 바뀐다. - 홀수번 바꾸면 -1, 짝수번 바꾸면 원래 부호 그대로. |
| prop. 3-1 | $ \begin{vmatrix} ta & tb \\ c & d \end{vmatrix} = t \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} $ | - 행렬의 하나의 row 에 곱해진 상수는 밖으로 뺄 수 있다. |
| prop. 3-2 | $ \begin{vmatrix} a + a^{\prime} & b + b^{\prime} \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a^{\prime} & b^{\prime} \\ c & d \end{vmatrix} $ | - 행렬의 하나의 row 에 더해진 row 벡터는 분리하여 정리할 수 있다. |
| prop. 4 | $ \mbox{two equal rows} $ $ \rightarrow \mbox{determinants} = 0 $ | - 행렬에 두 개의 똑같은 row 가 존재하면 determinant는 0이 된다. |
| prop. 5 | $ \mbox{row}_k - l * \mbox{row}_i $ $\rightarrow \mbox{determinant doesn’t change !}$ | - 행렬을 Gauss 소거법으로 소거하여도 determinant 의 값은 변하지 않는다. |
| prop. 6 | $ \mbox{row of zeros} \rightarrow \mbox{det} A = 0 $ | - 모든 원소가 0인 row 가 하나라도 존재한다면, determinant 는 0이다. |
| prop. 7 | $ \mbox{det} \, U = \begin{vmatrix} d_1 & * & * & * \\ 0 & d_2 & * & * \\ 0 & 0 & \ddots & * \\ 0 & 0 & 0 & d_n \end{vmatrix} = d_1 \times d_2 \times \dots \times d_n $ | - triangular matrix 의 determinant 는 대각 원소들의 곱으로 간단히 구할 수 있다. 이 때 d 들은 0이 아니어야한다. - 일반 행렬들도 row operation 을 통해 echelon form을 만들고 대각 원소들의 곱으로 간단히 determinant 를 구할 수 있다. |
| prop. 8 | $ \mbox{when} A \mbox{ is singular}, \rightarrow \mbox{det} \, A = 0 $ $ \mbox{when} A \mbox{ is invertible}, \rightarrow \mbox{det} \, A \ne 0 $ | - 행렬 A 가 singular matrix (특이 행렬, 역행렬이 존재하지 않음) determinant 는 0이다. - 역행렬이 존재하면 determinant 는 0이 아니다. - 반대로 determinant 를 통해 행렬의 역행렬 존재 여부를 판별할 수 있다. |
| prop. 9 | $ \mbox{det} \, AB = (\mbox{det} \, A)(\mbox{det} \, B) $ $ (\mbox{det} \, A^{-1}) = {1 \over (\mbox{det} \, A)} $ $ \mbox{det} \, A^2 = (\mbox{det} A)^2 $ $ \mbox{det} \, 2A = 2^n \mbox{det} \, A $ | - 두 행렬의 곱 AB 의 determinant 는 각 행렬의 determinant 곱과 같다. - A 의 역행렬의 determinant 는 A 의 determinant 의 역수이다. - A의 제곱의 determinant 는 A 의 determinant의 제곱과 같다. - A 에 상수를 곱한 determinant 는 상수의 n 승을 A 의 determinant 에 곱한것과 같다. |
| prop. 10 | $ \mbox{det} \, A^T = \mbox{det} \, A $ | - 행렬 A의 trnaspose의 determinant 는 원래 행렬의 determinant 와 같다. - 즉 transpose를 해도 determinant는 변하지 않는다. |