Linear Algebra - 2.4 Partitioned Matrices

용어 정리

• Partitioned Matrix or Block Matrix (분할 행렬 or 블록 행렬)
• Column-row expansion AB (AB의 열-행 확장)
• Inverse of partitioned matrix (분할 행렬의 역행렬)

Partitioned Matrix or Block Matrix - 분할 행렬 or 블록 행렬

• matrix 가 주어졌을 때 임의로 row 와 column 을 나눈다.

• 이를 submatrix 로 표현한 것을 partitioned matrix (분할 행렬) 또는 block matrix (블록 행렬)이라고 한다.

  

• 여기서 A 행렬은 총 6개의 파티션으로 나누어졌고, 각 파티션들의 인덱스들은 일반 행렬의 요소들 처럼 취급된다. 따라서 같은 형식으로 파티션이 나뉘어진 행렬들은 똑같은 행렬 연산 (행렬 곱셈, 행렬 덧셈)이 가능하다.

Multiplication of Partitioned Matrix - 분할 행렬의 곱셈

• 각각의 block을 단일 entry로 다뤄서 기존의 matrix multiplication 을 이용하면 된다.
• 이렇게 AB 행렬과 같이 파티션이 나누어져 곱연산이 가능한 형태를 comfortable 이라고 한다.

Theorem10. Column-Row Expansion of AB
If $A$ is $m \times n$ and $B$ is $n \times p$, then
\(AB = \begin{bmatrix} col_1(A) & col_2(A) & \dots & col_n(A) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} row_1(A) \\\ row_2(A) \\\ \dots \\\ row_n(A) \end{bmatrix}\)
\(= col_1(A)row_1(B) + \dots + col_n(A)row_n(B)\)

• $m \times n$ 분할 행렬 $A$ 와 $n \times p$ 분할 행렬 $B$ 를 곱하면 $m \times p$ 행렬이 만들어진다.

Inverses of Partitioned Matrix - 분할 행렬의 역행렬

• $A$ matrix 의 form이 block upper triangular 로 주어지고 $A_11$ 은 $p \times p$, $A_22$ 는 $q \times q$ 이고 $A$ 가 invertible 이라고 가정할 때 $A^{-1}$ 을 찾아보자.

• 여기서 B 는 A 의 역행렬이다. Multiplication을 적용하면 4개의 식이 도출된다.

• 위 식을 $A^{-1}$ 를 찾을 수 있다.

• $B_{11}, B_{12}, B_{21}, B_{22}$를 구했으므로 B 행렬(A의 역행렬)을 표현할 수 있다.