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용어 정리

• Partitioned Matrix or Block Matrix (분할 행렬 or 블록 행렬)
• Column-row expansion AB (AB의 열-행 확장)
• Inverse of partitioned matrix (분할 행렬의 역행렬)

Partitioned Matrix or Block Matrix - 분할 행렬 or 블록 행렬

• matrix 가 주어졌을 때 임의로 row 와 column 을 나눈다.

• 이를 submatrix 로 표현한 것을 partitioned matrix (분할 행렬) 또는 block matrix (블록 행렬)이라고 한다.

  

• 여기서 A 행렬은 총 6개의 파티션으로 나누어졌고, 각 파티션들의 인덱스들은 일반 행렬의 요소들 처럼 취급된다. 따라서 같은 형식으로 파티션이 나뉘어진 행렬들은 똑같은 행렬 연산 (행렬 곱셈, 행렬 덧셈)이 가능하다.

Multiplication of Partitioned Matrix - 분할 행렬의 곱셈

• 각각의 block을 단일 entry로 다뤄서 기존의 matrix multiplication 을 이용하면 된다.
• 이렇게 AB 행렬과 같이 파티션이 나누어져 곱연산이 가능한 형태를 comfortable 이라고 한다.

Theorem10. Column-Row Expansion of AB
If $A$ is $m\times n$ and $B$ is $n\times p$, then
$AB=\left[\begin{array}{cccc}co{l}_1(A)& co{l}_2(A)& \dots & co{l}_n(A)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}ro{w}_1(A)\\ ro{w}_2(A)\\ \dots \\ ro{w}_n(A)\end{array}\right]$
$=co{l}_1(A)ro{w}_1(B)+\cdots +co{l}_n(A)ro{w}_n(B)$

• $m\times n$ 분할 행렬 $A$ 와 $n\times p$ 분할 행렬 $B$ 를 곱하면 $m\times p$ 행렬이 만들어진다.

Inverses of Partitioned Matrix - 분할 행렬의 역행렬

• $A$ matrix 의 form이 block upper triangular 로 주어지고 $A_{1}1$ 은 $p\times p$, $A_{2}2$ 는 $q\times q$ 이고 $A$ 가 invertible 이라고 가정할 때 $A^{-1}$ 을 찾아보자.

• 여기서 B 는 A 의 역행렬이다. Multiplication을 적용하면 4개의 식이 도출된다.

• 위 식을 $A^{-1}$ 를 찾을 수 있다.

• $B_{11},B_{12},B_{21},B_{22}$를 구했으므로 B 행렬(A의 역행렬)을 표현할 수 있다.