Linear Algebra - 2.1 Matrix Operations

용어 정리

• Matrix Notation (행렬 표기법)
• Matrix Sum (행렬 덧셈)
• Scalar Multiple (선형 변환)
• Matrix Multiplication (행렬 곱)
• The transpose of a matrix (행렬의 전치)

Matrix Notation - 행렬 표기법

• $A$ 가 $m$ x $n$ 행렬이면 i 번째 행, j 번째 열에 있는 항목은 $a_{ij}$ 로 표기한다. 또한 $A$ 의 $(i,j)$ 항목이라고 부른다.

Theorem1.
Let $A, \, B, \,$ and $C$ be matrices of the same size, and let $r$ and $s$ be scalars.

a.  $A + B = B + A$                  d.  $r(A + B) = rA + rB$
b.  $(A + B) + C = A + (B + C)$        e.  $(r + s)A = rA + sA$
c.  $A + 0 = A $                      f.  $r(sA) = (rs)A$

• Chapter 1 에서 공부했던 $\mathbb{R}^{n}$ space 에서 vector 의 성질과 동일하다.
• 각각의 matrix 는 column vector 로 이루어져 있다. 따라서 vector 의 성질을 만족하게 되어 theorem 1 을 만족하게 된다.

Matrix Multiplication - 행렬 곱

• Matrix Multiplication 과 Scalar Multiplication 은 다르다. Matrix Multiplication 에서는 matrix size 가 중요하다.

• $m$ x $n$ matrix A 와 $n$ x $p$ matrix B 를 곱하면 $m$ x $p$ matrix AB 를 생성한다.
• AB 는 Ab1, Ab2, Ab3 를 나열한 matrix 이다.

• 행렬 곱셈은 내적을 통해서도 빠르게 연산이 가능하다.

  

  

  

Theorem2.
Let $A$ be an $m \times n$ matrix, and let $B$ and $C$ have sizes for which the indicated sums and products are defined.

a.  $A(BC) = (AB)C$
b.  $A(B + C) = AB + BC$
c.  $(B + C)A = BA + CA$
d.  $r(AB) = (rA)B = A(rB)$   for any scalar $r$
e.  $I_mA = A = AI_n$

• A, B, C 가 같은 size 를 갖고 있으면 위 성질을 만족한다. 주의! $AB \ne BA$

$\mathbf{WARNINGS:}$
$\mathbf{1.}$  In general, $AB \ne BA$.
$\mathbf{2.}$  The cancellation laws do not hold for matrix multiplication. That is, if $AB = AC$, then it is not true in general that $B = C$.
$\mathbf{3.}$  If a product $AB$ is the zero matrix, you cannot conclude in general that either $A = 0$ or $B = 0$.

• 일반적인 실수체계에서는 $AB = BA$ 가 성립하지만, matrix 체계에서는 성립하지 않는다.

  

The Transpose of a Matrix - 행렬의 전치

• 행렬의 전치(transpose of a matrix) 는 column 과 row 를 바꾼 것이다.

  

Theorem3.
Let $A$ and $B$ denote matrices whose sizes are appropriate for the following sums and products.

a.  $(A^T)^T = A$
b.  $(A + B)^T = A^T + B^T$
c.  For any scalar $r$, $(rA)^T = rA^T$
d.  $(AB)^T = B^TA^T$

• 성질 d 를 주의해야한다. transpose 를 하게 되면 matrix 의 size 가 변하므로.. 순서를 바꿔 size 를 동일하게 한다.