同じサイズの行列、ベクトルの足し算・引き算
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$
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| A = np.array([[1,2], [3,4]])
B = np.array([[5,6],[7,8]])
C = A + B
C = A - B
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- ベクトル（1D array）も同様に足し算、引き算が可能です。
- shapeさえ同じなら問題ありません。
サイズの大きな行列を簡単に作る
$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \ -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 2 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $
- ここで、bandごとに
np.ones を活用して1D arrayとして抽出した後、スカラー値を掛けましょう。
$k = -1$ の場合
$ b_1 = \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} $
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| b1 = (-1)*np.ones((4,))
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$k = 0$ の場合
$ b_2 = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \end{bmatrix} $
$k = 1$ の場合
$ b_3 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $
- その後、
np.diag 機能を活用して1D arrayたちをそれぞれ最大サイズ（k=0）を基準とした行列にした後、足せば良いです。
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| A = np.diag(b1, k=-1) + np.diag(b2, k=0) + np.diag(b3, k=1)
print(A)
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| [[ 2. 1. 0. 0. 0.]
[-1. 2. 1. 0. 0.]
[ 0. -1. 2. 1. 0.]
[ 0. 0. -1. 2. 1.]
[ 0. 0. 0. -1. 2.]]
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スカラーと行列の足し算 (r + A)
- 数学的にはあり得ませんが、Pythonでは可能です…
- すべての entry にスカラーを足します。ベクトルも同様です。
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| A = np.array([[1,2],[3,4]])
r = 5
result = r + A # = A + r
print(result)
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行列と行列の要素ごとの掛け算・割り算 (A * B) (A / B)
- 行列の乗算 (matrix multiplication) ではないことに注意しましょう。
A @ B、np.matmul とは全く異なります！！ - shapeが同じ行列同士で掛け算ができます。
- 同じインデックスの entry 同士を掛けて結果として返します。ベクトルも同様です。
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| A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[5,6],[7,8]])
result = A * B # = B * A
print(result)
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- 割り算も同様です。
- 逆行列を意味するのではなく、単なる割り算です。
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| A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[5,6],[7,8]])
result = A / B # = B / A
print(result)
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| [[0.2 0.33333333]
[0.42857143 0.5 ]]
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行列とベクトルの要素ごとの掛け算・割り算 (A * b) (A / b)
- matrix-vector product ではないことに注意しましょう。
- shapeが異なる状況ですが可能です…
- 行列の列（column）の数とベクトルのサイズが同じでなければなりません。(
A.shape[1] == b.shape[0]) - 割り算の場合、
A / b と b / A は結果値が異なります。演算方法自体が異なるためです。
- 上の写真の同じ色の領域同士で掛け算・割り算が行われます。
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| A = np.array([[1,2],[3,4]])
b = np.array([2,4])
result = A * b
print(result)
result = A / b
print(result)
result = b / A # = b * (1 / A) と考えれば良いです。
print(result)
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| [[ 2 8]
[ 6 16]]
[[0.5 0.5]
[1.5 1. ]]
[[2. 2. ]
[0.66666667 1. ]]
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インデックス配列を使用して行列の一部を再構築する
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| A = np.array([[1,2,3,4,5],[6,7,8,9,10],[11,12,13,14,15],[-1,-2,-3,-4,-5]])
print(A)
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| what_i_want = A[[1,2,0,3], : ]
# or
idx = [1,2,0,3]
what_i_want = A[idx, :]
print(what_i_want)
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| # matrix A
[[ 1 2 3 4 5]
[ 6 7 8 9 10]
[11 12 13 14 15]
[-1 -2 -3 -4 -5]]
# index array
[[ 6 7 8 9 10]
[11 12 13 14 15]
[ 1 2 3 4 5]
[-1 -2 -3 -4 -5]]
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| idx = [2,1]
what_i_want = A[idx, :]
print(what_i_want)
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| [[11 12 13 14 15]
[ 6 7 8 9 10]]
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| idx = [4,1,2]
what_i_want = A[:, idx]
print(what_i_want)
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| [[ 5 2 3]
[10 7 8]
[15 12 13]
[-5 -2 -3]]
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| idx_r = [2,3,0] # row
idx_c = [2,1,3] # column
what_i_want = A[idx_r, :][:, idx_c] # = A[:, idx_c][idx_r, :]
print(what_i_want)
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| [[13 12 14]
[-3 -2 -4]
[ 3 2 4]]
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